Nº11 La División y sus Propiedades

¿Qué es la División?

La división es una operación matemática que nos permite repartir o dividir una cantidad en partes iguales. Si tenemos un total y queremos ver cuántas veces cabe un número en ese total o cómo repartirlo en partes iguales, usamos la división. Por ejemplo, si queremos dividir 20 caramelos entre 4 amigos, la división nos ayuda a saber cuántos caramelos le tocan a cada uno.

La división es el inverso de la multiplicación. Esto significa que si multiplicamos 4 × 5 = 20, entonces 20 ÷ 4 = 5.

Partes de una División

Para entender bien la división, debemos conocer las partes que la componen:

1. Dividendo: Es el número que queremos dividir. Por ejemplo, en 20 ÷ 4, el 20 es el dividendo.
2. Divisor: Es el número por el cual dividimos el dividendo. En nuestro ejemplo, el 4 es el divisor.
3. Cociente: Es el resultado de la división. En el ejemplo, el cociente sería 5.
4. Resto: Es lo que sobra si no se puede dividir en partes iguales. Si al hacer una división nos queda una cantidad menor que el divisor, ese número es el resto.

Ejemplo: Si dividimos 25 entre 4, obtenemos:

• Dividendo: 25
• Divisor: 4
• Cociente: 6
• Resto: 1 (porque 25 no se puede dividir en 4 partes iguales sin que sobre algo)

Ejercicio 1

Propiedades de la División

Entender las propiedades de la división nos ayuda a resolver problemas de forma más rápida y a comprender mejor la operación. Estas son las propiedades principales:

1. Propiedad de No Cerradura

La división no es cerrada en los números enteros. Esto significa que, al dividir dos números enteros, el resultado no siempre es un número entero. Por ejemplo, 7 ÷ 2 = 3.5, que no es un número entero. Sin embargo, en algunos casos sí obtenemos un número entero, como 8 ÷ 4 = 2.

2. Propiedad No Conmutativa

A diferencia de la suma y la multiplicación, en la división el orden de los números importa. Si cambiamos el orden del dividendo y el divisor, el resultado cambia. Por ejemplo, 15 ÷ 3 = 5, pero 3 ÷ 15 = 0.2. Esto nos indica que el orden en la división importa.

3. Propiedad del Divisor 1

Cuando dividimos cualquier número entre 1, el resultado es el mismo número. Esto se debe a que estamos diciendo cuántas veces cabe 1 en el número, y cabe exactamente ese número de veces.

Ejemplo: 18 ÷ 1 = 18.

4. Propiedad del Dividendo 0

Si el dividendo es 0 y lo dividimos entre cualquier número distinto de 0, el resultado siempre es 0. Esto es porque estamos diciendo cuántas veces cabe un número en nada, y la respuesta siempre será nada (0).

Ejemplo: 0 ÷ 5 = 0.

Nota importante: No podemos dividir por 0. Es decir, expresiones como 6 ÷ 0 no tienen sentido en matemáticas, porque no existe un número que, multiplicado por 0, nos dé un número diferente de 0.

Ejercicio 2

División Exacta e Inexacta

Cuando realizamos una división, podemos encontrar dos tipos de resultados:

• División Exacta: Ocurre cuando el dividendo se puede dividir en partes iguales sin que sobre nada. El resto es 0. Por ejemplo, 12 ÷ 3 = 4 es una división exacta.
• División Inexacta: Ocurre cuando al dividir el dividendo, sobra algo, es decir, el resto es distinto de 0. Por ejemplo, 13 ÷ 3 = 4 con un resto de 1.

Relación entre la División y la Multiplicación

La división está estrechamente relacionada con la multiplicación. Podemos verificar una división multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto (si lo hay).

Por ejemplo, si tenemos 20 ÷ 4 = 5, podemos verificar la operación multiplicando 5 × 4. Como el resultado es 20, sabemos que la división es correcta.

Para una división inexacta, como 13 ÷ 4 = 3 con un resto de 1, hacemos 3 × 4 + 1 = 13. Así, comprobamos que el resultado es correcto.

Cómo Resolver una División Paso a Paso

Para dividir números más grandes, sigamos estos pasos:

1. Tomamos las cifras del dividendo de izquierda a derecha hasta que el número formado sea mayor o igual al divisor.
2. Dividimos esas cifras entre el divisor y colocamos el cociente en la parte superior.
3. Multiplicamos el cociente por el divisor y restamos el resultado de esas cifras tomadas.
4. Bajamos la siguiente cifra del dividendo y repetimos los pasos hasta que no queden cifras por bajar.

Ejemplo: Vamos a dividir 156 entre 4.

1. Tomamos el 15 (las primeras dos cifras). Sabemos que 4 cabe en 15 un total de 3 veces.
2. Colocamos el 3 en el cociente.
3. Multiplicamos: 3 × 4 = 12. Restamos 15 – 12 = 3.
4. Bajamos el 6 y ahora tenemos 36.
5. 4 cabe en 36 un total de 9 veces. Colocamos el 9 en el cociente.
6. Multiplicamos: 9 × 4 = 36. Restamos 36 – 36 = 0.

El cociente es 39, y el resto es 0. Por lo tanto, 156 ÷ 4 = 39.

Ejercicio 3

Resumen de las Propiedades de la División

1. La división no es cerrada en números enteros.
2. La división no es conmutativa.
3. Dividir un número entre 1 da el mismo número.
4. Dividir 0 entre cualquier número da como resultado 0.
5. No se puede dividir entre 0.

Ejercicio 4

Ejercicio 5